공부/확률통계

지난시간에 이항변수의 개념과 확률변수가 이항변수로 정의되기 위한 4가지 조건에 대해 알아보았다. 이항확률변수의 충족조건과 독립시행, 10%의 법칙 이항변수라고 알려져 있는 확률변수의 특수한 종류에 대해 알아보자. 이항변수, Binomial Variables란 이산확률변수 discrete random variable의 한가지 종류이다. 고정된 숫자의 시도에서 (fixed number of trei.. tali.tistory.com 이번에는 이항변수의 확률분포 를 구해보자. 확률변수 X를 동전 5번을 던졌을 때 H(앞면) 나올 횟수로 정의한다. X는 0,1,2,3,4,5의 값을 가질 수 있다. 한번을 던질 때 두가지의 경우의 수가 나올 수 있으므로 5번을 던질때 가능한 총 경우의 수는 2*2*2*2*2=2⁵..

이항변수라고 알려져 있는 확률변수의 특수한 종류에 대해 알아보자. 이항변수, Binomial Variables란 이산확률변수 discrete random variable의 한가지 종류이다. 고정된 숫자의 시도에서 (fixed number of treis or trials) 이벤트가 얼마나 자주 발생하는지의 빈도를 나타낸다. 이항확률변수는 다음과 같은 특수한 조건들을 만족시켜야 한다. ✔️ made up of independent trials 유한한 독립시행으로 구성 ✔️ each trial can be classified as either success or failure 각각의 시도는 성공 또는 실패로 분류될 수 있다 ✔️ fixed # of trials 시행 횟수가 고정 ✔️ probability o..

이번 시간에는 확률변수에 상수를 더하거나 곱했을 때, 또는 확률변수끼리 합쳤을 때 생기는 변화와 계산방법에 대해 공부해본다. 확률변수에 상수의 합과 곱 확률변수 X를 정의하고 이 때 평균과 표준편차를 μx σx라고 하자. 확률변수 Y는 X에 k를 더한 값이다. 즉 X가 가지는 모든 확률변수 값을 k만큼 증가시켰다는 의미이다. 이 Y=X+k 에 대한 확률밀도함수는 그림에서 1과 같이 X의 확률밀도함수가 오른쪽으로 그대로 k만큼 이동한 모양이다. 평균이 k만큼 이동하였지만 평균에서 얼마나 퍼져있는지 산포를 나타내는 표준편차는 변하지 않았다. 확률변수에 상수k를 더할 때, Y=X+k μy=μx+k σy=σx 확률변수에 상수k를 곱하는 경우에는 어떻게 될까? Z=kX 라고 하면 새로운 확률변수 Z는 X의 모든 ..

지난 시간에는 이산형 확률변수가 가지는 각각의 값에 대한 확률들을 구하고 그것을 확률분포도와 확률분포함수로 나타내는 방법을 공부해보았다. 이번에는 연속형 확률변수의 확률분포도를 나타내고 확률밀도함수에 대한 개념을 살펴본다. 특정한 값을 가질 확률이 0이다? 확률변수 Y를 내일 비가 내리는 정확한 양 이라고 정의한다. 그렇다면 Y=2일 확률은 얼마일까? 내일 비가 2인치가 내릴 확률은? 대충 2인치 정도 라고 우리가 흔히 부르는 근사치가 아니라 정확하게 2인치, 1.9도 아니고 2.1도 아닌 딱 2인치. 1.999999도 아니고 2.000001도 아닌 딱 2인치를 말한다. 물 분자 한개도 더하지 않고 한개도 모자라지 않은 딱 2인치일 확률은? 그것은 제로에 가깝다고 볼 수 있다. 수 많은 양 중에서 분자 ..

확률변수 X를 다음과 같이 정의한다. X = # of workouts in a week X는 일주일에 운동하는 횟수 확률변수 X를 확률분포도로 만들면 다음과 같다. X P(X) 0 0.1 1 0.15 2 0.4 3 0.25 4 0.1 일주일에 운동을 하나도 안할 확률이 0.1 / 1회 할 확률이 0.15 .... 4회 할 확률이 0.1 이런 식으로 표시하였고 확률의 총합은 1이고 음수가 없으니 타당한 확률분포도이다. 이 확률변수 X가 가질 수 있는 기대값을 E(X)라고 하고 μx 로 표시한다. X 즉 일주일에 운동을 몇회 할지 예상되는 기댓값을 구해보자. 기댓값 (평균) expected value of random variable (mean) 확률분포도에 있는 X의 값과 각각의 확률을 가중치로 해서 곱해..

Frozen Yogurt를 파는 가게가 있다. 이곳에서 요거트 아이스크림을 사려고 오후 4시마다 갔을 때 대기자가 몇명이었는지를 매번 관찰했다. 총 50번의 관찰결과 대기줄은 아래와 같았다. Line Size Times Observed Prob. Estimate 0 24 24/50=48% 1 18 18/50=36% 2 8 8/50=16% 대기자가 한명도 없었던 경우가 24번, 대기자 1명이 있었던 경우가 18번, 대기자 2명이 있었던 경우가 8번이었다. 각각의 확률을 구해보면 총 관찰횟수가 50번이었으니 표와 같이 48%, 36%, 16%가 된다. 이 확률은 절대적인 진실이 아니라 나의 관찰값에 의해 추정된 (Estimated) 값이다. 하지만 이것은 타당한 값이다. 모든 확률은 0에서 1 사이의 값을 ..

지난 시간까지 조건부 확률 ▷ 전체 확률의 법칙 ▷ 베이즈 정리로 이어지는 확률통계의 기초 부분을 공부하였고, 쉬어가는 코너로 몬티홀 문제의 정답해설을 정리해보았다. 확률이란? 확률모형과 사건, 표본공간의 정의 예일대 강의자료 확률 모형이란 어떠한 무작위 현상에 대한 수학적 표현이다. 결과가 확률에 의해 매번 달라지는 실험을 의미한다. 영어 표기로는 probability model 이므로 확률 모델이라고 말해도 같은 뜻이다. 확 tali.tistory.com 조건부 확률과 교집합(곱사건) 개념의 차이는 표본공간 (+예시문제) 조건부 확률이란? (Conditional Probability) 사건 (event) B의 조건부 확률이란 사건 A가 이미 발생했음을 알고있는 경우의 확률이다. P(B|A) 로 나타내..

몬티홀 문제란? 당신은 몬티홀의 퀴즈쇼에 참가했다. 문제를 다맞추고 최종 우승자가 되어 마침내 상품을 받게 되었다. 단, 상품도 하나의 게임을 통해 주어진다. 쇼 진행자 몬티홀은 세 개의 닫힌 문을 보여주며 한 개의 문 뒤에는 자동차가 있고 두개의 문 뒤에는 염소가 있다고 한다. 당신은 한개의 문을 선택한다. 그리고 그 문을 열어 상품을 확인하기 직전! 몬티홀이 잠시 뜸을 들이다가 당신이 고르지 않은 두 개의 문 중 하나를 열어 염소를 보여준다. 몬티홀은 어느 문 뒤에 무엇이 있는지 알고있기 때문에 당신이 무엇을 골랐던 나머지 문 중에서 염소를 보여준다. 그리고 묻는다. 선택을 바꿀 기회를 드리겠습니다. 바꾸시겠습니까? 과연 당신이라면, 처음 고른 문의 선택을 유지할 것인가, 아니면 몬티홀이 열고 남은 ..

전체 확률의 법칙 베이즈 정리 유도에 앞서 조건부 확률의 수식을 이용해서 전체 확률의 법칙 (law law of total probability) 또는 전확률 정리라 부르는 형태로 나타낼 수 있다. 베이즈 정리로 가기위한 거쳐가는 단계라고 보면 된다. 사건 A는 표본공간 S의 부분집합이고, 표본공간 S는 사건 B1, B2, B3, ... , Bk 개로 나눌 수 있을 때 전확률 공식이 성립한다. 표본공간 S가 B1, B2, B3로 나눌 수 있고, S의 부분집합인 사건 A가 있는 벤 다이어그램을 가정한다. 여기서 A는 B1 B2 B3와 각각 겹치는 교집합 영역이 생긴다. 그렇다면 A는 교집합 영역 3개의 합으로 나타낼 수 있다. P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + P(A∩B3) 두 사건이 독립이..

조건부 확률이란? (Conditional Probability) 사건 (event) B의 조건부 확률이란 사건 A가 이미 발생했음을 알고있는 경우의 확률이다. P(B|A) 로 나타내며, A가 주어졌을 때의 (given A) B를 나타내는 표기법이다. P(B|A) 에서 | 기호는 if를 의미한다. 만약 A가 발생했다면 그 때 B가 발생할 확률은 얼마인가? 라는 것이다. 조건부 확률이 기초 부분이지만 난해한 이유는 아마도 이런 개념 때문이다. A와 B가 동시에 발생하는 교집합 확률과 대체 무슨 차이라는 말인가? 그 차이는 표본공간에 있다. A와 B의 교집합 확률은 전체 표본공간 S의 부분집합인 사건 A와 사건 B가 있고, 이 때 A와 B가 겹쳐지는 부분의 사건이 발생할 확률이다. 벤다이어그램을 통해 이해해 ..